#初中数学#
已知抛物线经过a(-1，0)、b(0，3)、c(3，0)三点，o为坐标原点，抛物线交正方形 obdc的边bd 于点e，点m为射线bd上一动点，连接om，交bc于点f。
1)求抛物线的表达式；
2)求证：∠bof=∠bdf；
3)是否存在点m，使△mdf为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求me的长。
解析：1)把a(- 1，0)、b(0，3)、c(3，0)代入y=ax²+bx+c，即可得解；
2)根据正方形的性质得出∠obc=∠dbc,bd=ob，再由 bf=bf,得出△bof≌△bdf，最后利用全等三角形的性质得出结论；
3)分两种情况讨论解答，当m**段bd 的延长线上时，先求出∠m，再利用解直角三角形得出结果，当m**段 bd上时，得出∠bom=30°。
解：(1)设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c,把a(-1，0)、b(0，3)、c(3，0)代入。
0=a-b+c，3=c，0=9a+3b+c
解得： a=-1，b=2，c=3
抛物线的表达式为：y=-x²+2x+3；
2)∵正方形obdc，∠obc=∠dbc，bd=ob，bf=bf，△bof≌△bdf，∠bof=∠bdf；
3)∵抛物线交正方形obdc的边 bd于点e，令y=3,则3=-x2+2x+3，解得：x1=0，x2=2,e(2，3)，如图，
当m**段 bd的延长线上时，∠bdf为锐角，∠fdm为钝角，△mdf为等腰三角形，.df=dm,∠m=∠dfm,∠bdf=∠m+∠dfm=2∠m,bm//oc,∠m=/moc,由(2)得∠bof=∠bdf,∠bdf+∠moc=3∠m=90°，∠m=30°，在 rt△bom中，bm=ob/tan30° =3√3；
me=bm-be=3√3-2；
如图，
当m**段bd上时，∠dmf为钝角，△mdf为等腰三角形，mf=dm,∠bdf=∠mfd，∠bm0=∠bdf+∠mfd=2∠bdf,由(2)得∠bof=∠bdf,∠bm0=2∠bom，∠bom+∠bm0=3∠b0m=90°,∠bom=30°，在 rt△bom中，bm=tan30°▪ob=√3,me=be-bm=2-√3,综上所述，me的值为：3√3-2或2-√3.
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